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是基因还是文化?人类关于数字的概念从何而来

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是基因还是文化?人类关于数字的概念从何而来

我们关于数字的感觉从何而来?是天生的神经能力,还是我们文化的产物?

布朗大学Wassily Kandinsky的画作,创作于1933年。

为什么我们可以数到152?我知道,我们中的绝大多数人都不需要停留在那里。计算到152,以及远远超过152的数字,对于我们而言是如此自然而然的事情,以至于很难让我们觉得把数字延伸到无限的能力不是天生具备的。

一直以来,科学家们宣称,我们的数字能力确实是生物进化而来的——我们能够计算是,因为计算对我们的大脑能够做到的,且对我们有用处。狩猎和采集社会的人们如果能够说出哪个群体的猎物数量最大,或者哪棵树有最多的果实,会比没有计数能力的人更容易获得生存优势。除此之外,其他动物也显示出区分不同数量物品的基本能力:比如说,区分三根香蕉中的两根。当然——这是有原因的,算术能力是会让人更具有适应性。

不过,这一假设这是真的吗?能够区分出3和2,当然是有用的,但区分153和152对于我们的祖先而言,就不是什么紧迫的事情了。在古代世界中的牧羊人,无论怎样都会觉得超过100只羊都真的太多了,更别提考虑数百万甚至数十亿的数目了。

加州大学圣地亚哥分校的认知科学家Rafael Núñez并不同意“数字”是一种深入的、进化的能力,他反对这一传统观点。他认为数字是文化的产物,就像写作和建筑那样。“部分,也许大多数学者都赞同数字能力是生物进化后与生俱来的能力,”他说,“可我认为,虽然需要生物基础,但语言和文化特性对于数字意识本身的建立来说,是必须的。”

比利时根特大学的神经科学家Wim Fias说:“人们认为,数字意识是遗传的并且是构建复杂数学技能中不可或缺的一环,这是一个独特且极具吸引力的想法。它符合普遍的热情和希望,那就是把人类使用数字能力的答案寄望于生物学,特别是‘将人类思想和行为的奥秘与遗传学研究对应起来’。”但Fias也同意Núñez的观点,那就是:现有证据——神经科学、认知学、人类学——并不支持这一想法。

如果Núñez和Fias是正确的,那么我们的数字意识是从何而来的呢?如果我们不具备计算的神经天赋,那我们是如何学习计算的呢?为什么我们会有152这样的概念?

Fias解释道:“将数字作为量化单位的理解,是数学知识中最基础、最重要的一部分。”然而,和原子、星系一样,数字似乎本身就存在于这个世界;它们似乎早已存在,只是等着被发现而已。数学,尤其是数论中的重大发现,都被简单地认为正确与否。32+42=52是数字本身让人愉悦的性质,而不是毕达哥拉斯的发明。

然而,数字是否真的独立存在于人类之外,并不是一个科学辩题,而是一个哲学、神学或者说是意识形态的问题。Núñez这样说道,“5是一个独立于人类存在的质数,这种说法并不能被科学证明。这一类的事实是信仰问题,我们可以围绕它们进行对话和辩论,但我们不能基于它们进行科学实验。”

不过,让人感到费解的是,我们似乎可以弄清楚这些事情。几何和基本的算术是古代建筑师和立法者的有用工具——“几何学”实际上意味着“测量地球”——但是随着人类认知在过去上百万年间的演变,很难看出它们如何服务于这项功能。确实,在生物学上,证明费马大定理甚至只是证明其中的一点,都是没有必要的。

为了探索数论中令人眼花缭乱的问题,即使是最有天赋的数学家,也必须和我们普通人一样开始:学习数到10。为此,我们需要知道什么是数字。一旦我们知道抽象符号“5”和我们手上的手指数相当,而且这比狗腿的数量“4”要多1,我们就有了算数的基础。

区分不同数量的能力在儿童发育期间非常早就出现了——甚至早于我们可以用语言来表达它。只有三、四天大的婴儿可以通过它的回应显示出它可以辨别两件物品和三件物品之间的差异,大概四个月的时候,婴儿可以在你把物品分成两组时把相同数量的物品抓出来。它们似乎有能感觉到以后将要学习1+1=2的算术表达式。

“我们有能力打网球并不意味着这是进化而来的能力,或者说我们的大脑中有一个网球模块。”

猴子、黑猩猩、海豚和狗也可以在数量少于10的两组食物中分辨出哪一组更多。“鸽子甚至可以在一段时间的训练后在控制杆上获取一定数量的食物。”Fias说。

加拿大西安大略大学的神经科学家Daniel Ansari认为,这类的观察结果解释了长期以来认为人类天生具有数字感觉的主流观点。神经科学的证据似乎对这一观点提供了强有力的支持。例如,Ansari说:“新生儿和婴儿的研究表明,如果你多次向它们展示8个点,然后换成16个,它们大脑右侧顶叶皮层的区域会产生变化。这种反应和成年人的非常相似。”一些研究人员得出结论,那就是我们出生的时候脑中就有了一个“数字模块”——一种支持我们之后学习文化中表示和象征数字系统的神经底物。

但Núñez回应认为我们不能这么快就得出结论。因为一种似乎是源自天生能力的行为,并不意味着这种行为本身是与生俱来的。打网球使我们进化而来的禀赋得到彻底地使用(就目前情况而言)。我们可以协调自己的眼睛和肌肉,不仅仅使球拍和球发生接触,还可以将球击入对方的远角。最让人印象深刻的,是我们还可以高球速的状态下读取球的轨迹,让我们的拍子正好处在球即将到达的地方。但这种能力并不意味着我们的先祖进化出打网球的能力,或者说我们在大脑中有什么网球模块。“生物进化的先决条件使某些活动变为可能,无论是认知数字还是玩单板滑雪,都不需要特殊的’活动基础’。”Núñez解释道。

感知数值的能力不仅仅是能够让我们将3个物品中的2个区分出来,即使这是最基础的能力。除了人以外,还没有发现有动物能够区分152和153。无论你多么认真地训练它们,黑猩猩也做不到,但是很多哪怕只有五岁的孩子都可以告诉你这两个数和抽象数字2、3之间的区别:同样相差了1。

人类和其他动物所共有的、天生的能力,似乎并不是单纯地指出2和3以及152和153之间的差异相等(这是关于数字至关重要的概念),而是基于相对差异的区别,这涉及两个数的比例。看起来我们从来没有失去这种基于比较的本能。“尽管一生中关于数字的经验十分丰富,并且在学校中接受数字和数学的正规培训,但是区分数字的能力依然依赖于数值的差别。”

根据Núñez的说法,这意味着,大脑的自然能力与数字无关,但与数量这一更底层的概念有关。“小鸡能辨认出人类设计的3个点中的1个点,以此作为视觉刺激。这其中涉及的是数量而不是数字。”他说,“这不需要符号、语言和文化。”

“许多’天性主义者’认为数字是生物学所赋予的能力。”Núñez则认为“这是基于不能分辨这两种与数量相关的现象。”婴儿和其他动物被观察到能够粗略区分数量,被他称为“量化认知”。与之相对的,比较152和153的能力,则是“数字认知”。“量化认知无法通过生物进化升级为数字认知。”Núñez说。

虽然研究人员经常认为数字认知是人类内在的能力,Núñez却指出并不是所有的文化都将此展现出来。大量没有文字的文化并没有写作或者教育机构,包括澳大利亚、南美洲和非洲的土著社会,没有具体词汇描述大于5或6的数字。更大的数字被类似“几个”、“许多”这样通用的词汇所代替。“这类文化有能力区分数量,但不同于数字,这是粗糙而非精确的。”Núñez说道。

然而,缺乏特异性并不意味着数量在超出特定数值后的区分是没有意义的。如果两个孩子有“许多”橙子,但女孩的明显比男孩多,那这个女孩可能会被认为有“许多许多”或“真的很多”。在亚马逊流域的蒙杜鲁库人(Munduruku)的语言中,“adesu”表示“几个”,而“ade”则指“真的很多”。这些文化和我们的文化共同生存,看起来很不精确:如果橙子被分成两部分,一个人拿了152个而另一个人有153个,这真的无关紧要。坦率地说,如果我们不是如此看重数字,那真的没什么关系。所以,为什么我们需要词汇来区分它们呢?

一些学者认为,人类用于量化事物的默认方式并不是算术——一个,又一个——而是另一种方式,即使用对数。对数的量化体系下,更容易区分小数,而大数则被压缩了,所以2和3的差异与200和300的差异相当。

正常算术(上)和对数(下)尺度下1-16的对比。数字越大,在对数尺度中被压缩得越多。

2008年,巴黎法兰西学院的认知神经科学家Stanislas Dehaene和他的同事们发表证据说明蒙杜鲁库人的计量系统和对数数轴相匹配。在计算机化的测试中,他们向来自这个部落群体的33个蒙杜鲁库成年人和儿童展示了类似于通常用于小学教学的数轴线条。但是没有任何实际的数字标记。这条数轴在一端有1个圈,在另一端则有10个。受试者被要求把这10个圈在数轴上排序分组。

西方的成年人和儿童通常会均匀地排列(也就是算术分布)数字,而蒙杜鲁库人则倾向于当数字越大时,它们之间的间隔越小,这与对数尺度上的抽象数字基本一致。Dehaene和他的同事们认为,让孩子们学习算术上的数字间距,他们需要克服对数量天生的对数直觉。

小数字之间的差异比大数字之间的差异权重更重,这在现实世界中很有意义,也符合Fias所说的根据差距比例进行判断。两个人或者三个人组成的家庭的差异,和200人或者300人的部落间差异意义相当,而152人和153人的部落之间差异则微不足道。

这种推理方式很容易被解读为“原始的”,但长期以来,人类学消除了这种傲慢的偏见。毕竟,一些缺乏数字描述词汇的文化,可能在其他方面比我们有更加细微的语言区分,比如说气味或者家族等级。你所形成的词汇和观念,是为你所在的社会真正关注的问题所服务的。从实践的角度来看,人们可以认为这在某种意义上其实是同质化的工业文明群体,看起来有点奇怪,它们的差异在严格意义上是1,000,002和1,000,003的区别。

然而,蒙杜鲁库人是否真的拥有类似对数的数学空间,依然存在疑问。Núñez对Dehaene认为所有人都有数轴这一抽象概念的说法持怀疑态度。他说,蒙杜鲁库人(尤其是没有接受过教育的成年人,他们是研究文化最为关键的人群)将小数量排列在数轴的现象实在是太过于多样化了,这无法支持他们关于是如何理解数字排列的结论。一些受试者甚至不能按照1、2、3的顺序一致地排列数字。

Núñez说:“一些人倾向于把数字放在数轴的一端而不考虑它们之间的距离,无论是对数还是算术法则,这都违反了数轴的基本原理。”

基于人类学的线索,神经科学可以告诉我们关于区分数量起源的更多细节。大脑图像的研究揭示了在婴儿大脑中涉及这一任务的一个区域——比如说,区分三个点中的两个。这种能力似乎确实是天生的,而认为有生物基础的研究者们声称,当孩子们开始学习他们文化中的数字象征系统时,他们需要利用这些神经资源。尽管没有人可以在视觉上将在空间随机分布的153个点中区分出152个(这是说在不进行计数的情况下),论点的关键在于这样做所需要的基本认知能力和区分2和3相同。

但是,根据Ansari的说法,这个极具吸引力的故事并不符合最新的证据。“令人惊讶的是,当你深入了解大脑的活跃模式时,我们和其他人发现了很多证据表明,我们的大脑在处理非符号数字,例如一系列的点,和符号数字时有大量的不同之处。”他说,“它们之间似乎并无关联。这一发现挑战了大脑通过处理机制,将文化发明的数字符号映射到非符号数字系统的概念。我认为,这些系统之间的联系并不像我们想象的那么紧密。”

如果说有什么区别的话,那就是现有的证据似乎表明因果关系是反过来的:“当你开始学习符号的时候,你开始用不同的方式来区分这些点。”

Ansari认为,当你考虑到孩子们需要多么努力才能掌握数字而不是数量时,一切就很直观了。“我一直饱受困扰的一件事情是,一方面我们有证据显示婴儿可以区分数量,但另一方面,孩子们需要两三年的时间来学习数字词汇和数量之间的关系。”他说,“如果我们认为人类有一个很强大的生物基础,你只需要将其映射到符号系统之上,那为什么需要这么长的发展轨迹、这么多明确的指导以及实践,才能够将其掌握呢?”

但是,两种象征性思维方式之间的明显断层形成了一个谜团:如果我们只是对数量有一个粗略的认知机制,那我们是如何掌握数字的呢?这个复杂的问题,使得一些研究人员不接受Núñez认为数字的概念是一种文化产物的说法。“作为一个生物器官,大脑是被基因所定义的,被预设定了接受一个数字系统。”德国蒂宾根大学的神经生物学家Andreas Nieder说道,“文化只能在大脑的能力范围内塑造出我们的数字系统。如果没有这样的预设定,数字符号将永远超出我们的掌握范围。”

Ansari认为,也许我们所绘制的,并不是一个简单的从符号到数量的映射,而是感觉中数字间的关系——换而言之,是基本算术规则的概念,而不仅仅是按顺序排列的数字。“即使孩子们了解基本规则——数字符号到数量的映射——他们也不一定明白如果你再添加一样东西,你将得到下一个更大的数字。”Ansari说,“把数字从实质中抽象出来是非常复杂的,我们依然只能肤浅地了解这其中的工作原理。”

关于我们对数字的感觉从何起源的辩论本身,似乎也是抽象的,但它在实际中有切实的后果。最值得注意的是,认为生物学和文化起到相关作用的信念,会影响数学教学的态度。

认为数字感觉是生物本能的学者们,似乎在2008年于巴尔的摩的约翰·霍普金斯大学进行的一项研究中找到了支持证据,这项研究显示:14岁受试者们在视觉上准确辨别数量(例如一张图里的点的数量)的能力,和他们幼儿园时代的数学测试成绩相关。换句话说,如果你天生就善于利用视觉评估数字,那你将擅长数学。这些研究结果被用于开发提高数学能力的工具,比如Panamath。

不过,Fias认为这些这些支持数字和事物联系是天生能力这一观点的测试结果,也许并不像看起来的那么有说服力。忽略掉密度、面积和亮度等因素,仅仅认为图片上的点数和数量有关,这是不切合实际的。从上世纪六十年代由Jean Piaget带头进行的儿童发育研究中,研究人员就已经注意到年幼的孩子们并不能在排除视觉冲突特征之后独立地识别数量。比如说,在数目相同的情况下,他们会认为间隔更宽、所占空间更大的石子数量比间隔窄、所占空间小的石子数量多。此外,还有很多研究表明,相比于在视觉上区分物体数量多少的能力,算术能力与学习和理解数字符号(1、2、3……)才是密切相关的。

虽然很多教育工作者以及研究人员本身都非常渴望知道确定答案,但关于数字认知起源的争论,仍然没有一个统一意见。Nieder仍然相信“我们对符号化数字的理解能力,无论比其他动物非符号化的能力先进多少,都是我们与生俱来的。”他认为Núñez那个“数字本身是文化产物”的说法不具备科学性。另外,他相信数量表征的能力需要神经生物学基础,这也解释了为什么有些人会有计算障碍——大脑缺失了处理数字的能力。他说:“只有拥有神经生物学中对应的数字能力基础,我们才有希望为这些案例找到教育和药物上的治疗方案。”

但如果Núñez是正确的,即数字的概念是文化建立在一个粗略的数量印象之上的产物,那么这将提出一些有趣的、关于大脑中数学逻辑的新问题。我们是如何决定计数的?我们为什么要开始计数?这是在我们为数字命名的阶段产生的能力吗?“语言本身可能是数字的必要条件,但不够充分。”Núñez说,“所有已知的人类文化都有语言,但不是所有的文化都有对数字形式的确切量化方式。”

“揭示思维如何从量化转向数字化是非常难的。”挪威卑尔根大学的认知科学家Andrea Bender表示,“尤其是如果假设语言在这个过程中起到了关键作用,这就更难了,因为我们甚至不知道语言是什么时候出现的。所有发展心理学中的研究似乎都表明:人们需要处在文化的环境中才能理解数字概念。”一些考古学家将关于数值的思考追溯到几万年前前的旧石器时代,基于一些遗迹,比如有缺口的骨头,或者手指模具——“但是,在一定程度上这都是推测。”Bender这样评价道。

更复杂的事情是,当不同的文化发展出数字的概念后,关于如何更好地计算,他们提出了不同的解决方案。虽然很多西方的语言都是以10为基准计算的——也许是受了我们手指数量的启发——但他们的日历是以12为基数的,所以英语从13(thirteen,10+3)开始的数字才是复合词。中国人从一开始就更有逻辑地保持一致性,11的表示方法就是“10+1”,并且将这种逻辑结构延续到更大的数字上,21(两个10,一个1)也是如此。一些学者认为,这种相对来说更清晰的逻辑表达是中国人计算能力出众的原因之一。

也许我们可以采用不同的数字系统。以法属波利尼西亚的芒阿雷瓦群岛上的人们为例。Bender和她的同事们发现,岛上的居民采用的计算系统混合了我们所熟悉的十进制和另一种相当于二进制的系统。在数码时代到来之前,这似乎是一个奇特的选择,但数码时代使得二进制变得完全合乎逻辑。不过,Bender认为,最佳的运作方式取决于你的目的。

在芒阿雷瓦的社会中,诸如食物分配和供给这一类特定的运算,二进制使用起来更简便。至少在这个环境下,这是解决文化问题的一个好方法。“看样子,芒阿雷瓦岛民和相关的波利尼西亚文化是发明计算系统的绝佳例子,因为他们的系统对于手头上的任务更加有效率。”Bender说道。

她认为她的研究发现支持Núñez的观点:即哪怕人类具有生物学进化而来的数值认知的先天条件,“他们需要和发明的工具也是文化产物,也正因为如此,这些工具是多样化的。”

Núñez认为,他的一些同行们可能太过于热衷将一些文化的产物,如音乐,归功于生物和进化而来的某些能力。“很多动物有区分声音的能力,还可以发出各种频率和强度的声音,等等。”他说,“但这些并不足以说明是’音乐的基本条件’。美声唱法需要声带,但它们没有进化出美声唱法。”

也许,关于数字认知的激烈争论的根源,是希望能通过生物学的自然理论,正式赋予一些特征和能力以适当地位——不仅仅是数学,还有艺术和音乐——否则的话,它们的地位好像会受到某种影响而衰减。当然,像认知科学家Steven Pinker就会比较极端地认为音乐是因为其他原因而寄生于进化而来的能力——他称之为“听觉上的芝士蛋糕”。

也许,这样一种想法似乎正变得更加可贵,而不是被轻蔑:我们的大多数精神方面的能力都来自我们的文化——我们通过纯粹的精神力量超越了我们现在所具有的生物禀赋。也许我们应该给自己更多的肯定。

(翻译:陈宛琦)

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是基因还是文化?人类关于数字的概念从何而来

我们关于数字的感觉从何而来?是天生的神经能力,还是我们文化的产物?

布朗大学Wassily Kandinsky的画作,创作于1933年。

为什么我们可以数到152?我知道,我们中的绝大多数人都不需要停留在那里。计算到152,以及远远超过152的数字,对于我们而言是如此自然而然的事情,以至于很难让我们觉得把数字延伸到无限的能力不是天生具备的。

一直以来,科学家们宣称,我们的数字能力确实是生物进化而来的——我们能够计算是,因为计算对我们的大脑能够做到的,且对我们有用处。狩猎和采集社会的人们如果能够说出哪个群体的猎物数量最大,或者哪棵树有最多的果实,会比没有计数能力的人更容易获得生存优势。除此之外,其他动物也显示出区分不同数量物品的基本能力:比如说,区分三根香蕉中的两根。当然——这是有原因的,算术能力是会让人更具有适应性。

不过,这一假设这是真的吗?能够区分出3和2,当然是有用的,但区分153和152对于我们的祖先而言,就不是什么紧迫的事情了。在古代世界中的牧羊人,无论怎样都会觉得超过100只羊都真的太多了,更别提考虑数百万甚至数十亿的数目了。

加州大学圣地亚哥分校的认知科学家Rafael Núñez并不同意“数字”是一种深入的、进化的能力,他反对这一传统观点。他认为数字是文化的产物,就像写作和建筑那样。“部分,也许大多数学者都赞同数字能力是生物进化后与生俱来的能力,”他说,“可我认为,虽然需要生物基础,但语言和文化特性对于数字意识本身的建立来说,是必须的。”

比利时根特大学的神经科学家Wim Fias说:“人们认为,数字意识是遗传的并且是构建复杂数学技能中不可或缺的一环,这是一个独特且极具吸引力的想法。它符合普遍的热情和希望,那就是把人类使用数字能力的答案寄望于生物学,特别是‘将人类思想和行为的奥秘与遗传学研究对应起来’。”但Fias也同意Núñez的观点,那就是:现有证据——神经科学、认知学、人类学——并不支持这一想法。

如果Núñez和Fias是正确的,那么我们的数字意识是从何而来的呢?如果我们不具备计算的神经天赋,那我们是如何学习计算的呢?为什么我们会有152这样的概念?

Fias解释道:“将数字作为量化单位的理解,是数学知识中最基础、最重要的一部分。”然而,和原子、星系一样,数字似乎本身就存在于这个世界;它们似乎早已存在,只是等着被发现而已。数学,尤其是数论中的重大发现,都被简单地认为正确与否。32+42=52是数字本身让人愉悦的性质,而不是毕达哥拉斯的发明。

然而,数字是否真的独立存在于人类之外,并不是一个科学辩题,而是一个哲学、神学或者说是意识形态的问题。Núñez这样说道,“5是一个独立于人类存在的质数,这种说法并不能被科学证明。这一类的事实是信仰问题,我们可以围绕它们进行对话和辩论,但我们不能基于它们进行科学实验。”

不过,让人感到费解的是,我们似乎可以弄清楚这些事情。几何和基本的算术是古代建筑师和立法者的有用工具——“几何学”实际上意味着“测量地球”——但是随着人类认知在过去上百万年间的演变,很难看出它们如何服务于这项功能。确实,在生物学上,证明费马大定理甚至只是证明其中的一点,都是没有必要的。

为了探索数论中令人眼花缭乱的问题,即使是最有天赋的数学家,也必须和我们普通人一样开始:学习数到10。为此,我们需要知道什么是数字。一旦我们知道抽象符号“5”和我们手上的手指数相当,而且这比狗腿的数量“4”要多1,我们就有了算数的基础。

区分不同数量的能力在儿童发育期间非常早就出现了——甚至早于我们可以用语言来表达它。只有三、四天大的婴儿可以通过它的回应显示出它可以辨别两件物品和三件物品之间的差异,大概四个月的时候,婴儿可以在你把物品分成两组时把相同数量的物品抓出来。它们似乎有能感觉到以后将要学习1+1=2的算术表达式。

“我们有能力打网球并不意味着这是进化而来的能力,或者说我们的大脑中有一个网球模块。”

猴子、黑猩猩、海豚和狗也可以在数量少于10的两组食物中分辨出哪一组更多。“鸽子甚至可以在一段时间的训练后在控制杆上获取一定数量的食物。”Fias说。

加拿大西安大略大学的神经科学家Daniel Ansari认为,这类的观察结果解释了长期以来认为人类天生具有数字感觉的主流观点。神经科学的证据似乎对这一观点提供了强有力的支持。例如,Ansari说:“新生儿和婴儿的研究表明,如果你多次向它们展示8个点,然后换成16个,它们大脑右侧顶叶皮层的区域会产生变化。这种反应和成年人的非常相似。”一些研究人员得出结论,那就是我们出生的时候脑中就有了一个“数字模块”——一种支持我们之后学习文化中表示和象征数字系统的神经底物。

但Núñez回应认为我们不能这么快就得出结论。因为一种似乎是源自天生能力的行为,并不意味着这种行为本身是与生俱来的。打网球使我们进化而来的禀赋得到彻底地使用(就目前情况而言)。我们可以协调自己的眼睛和肌肉,不仅仅使球拍和球发生接触,还可以将球击入对方的远角。最让人印象深刻的,是我们还可以高球速的状态下读取球的轨迹,让我们的拍子正好处在球即将到达的地方。但这种能力并不意味着我们的先祖进化出打网球的能力,或者说我们在大脑中有什么网球模块。“生物进化的先决条件使某些活动变为可能,无论是认知数字还是玩单板滑雪,都不需要特殊的’活动基础’。”Núñez解释道。

感知数值的能力不仅仅是能够让我们将3个物品中的2个区分出来,即使这是最基础的能力。除了人以外,还没有发现有动物能够区分152和153。无论你多么认真地训练它们,黑猩猩也做不到,但是很多哪怕只有五岁的孩子都可以告诉你这两个数和抽象数字2、3之间的区别:同样相差了1。

人类和其他动物所共有的、天生的能力,似乎并不是单纯地指出2和3以及152和153之间的差异相等(这是关于数字至关重要的概念),而是基于相对差异的区别,这涉及两个数的比例。看起来我们从来没有失去这种基于比较的本能。“尽管一生中关于数字的经验十分丰富,并且在学校中接受数字和数学的正规培训,但是区分数字的能力依然依赖于数值的差别。”

根据Núñez的说法,这意味着,大脑的自然能力与数字无关,但与数量这一更底层的概念有关。“小鸡能辨认出人类设计的3个点中的1个点,以此作为视觉刺激。这其中涉及的是数量而不是数字。”他说,“这不需要符号、语言和文化。”

“许多’天性主义者’认为数字是生物学所赋予的能力。”Núñez则认为“这是基于不能分辨这两种与数量相关的现象。”婴儿和其他动物被观察到能够粗略区分数量,被他称为“量化认知”。与之相对的,比较152和153的能力,则是“数字认知”。“量化认知无法通过生物进化升级为数字认知。”Núñez说。

虽然研究人员经常认为数字认知是人类内在的能力,Núñez却指出并不是所有的文化都将此展现出来。大量没有文字的文化并没有写作或者教育机构,包括澳大利亚、南美洲和非洲的土著社会,没有具体词汇描述大于5或6的数字。更大的数字被类似“几个”、“许多”这样通用的词汇所代替。“这类文化有能力区分数量,但不同于数字,这是粗糙而非精确的。”Núñez说道。

然而,缺乏特异性并不意味着数量在超出特定数值后的区分是没有意义的。如果两个孩子有“许多”橙子,但女孩的明显比男孩多,那这个女孩可能会被认为有“许多许多”或“真的很多”。在亚马逊流域的蒙杜鲁库人(Munduruku)的语言中,“adesu”表示“几个”,而“ade”则指“真的很多”。这些文化和我们的文化共同生存,看起来很不精确:如果橙子被分成两部分,一个人拿了152个而另一个人有153个,这真的无关紧要。坦率地说,如果我们不是如此看重数字,那真的没什么关系。所以,为什么我们需要词汇来区分它们呢?

一些学者认为,人类用于量化事物的默认方式并不是算术——一个,又一个——而是另一种方式,即使用对数。对数的量化体系下,更容易区分小数,而大数则被压缩了,所以2和3的差异与200和300的差异相当。

正常算术(上)和对数(下)尺度下1-16的对比。数字越大,在对数尺度中被压缩得越多。

2008年,巴黎法兰西学院的认知神经科学家Stanislas Dehaene和他的同事们发表证据说明蒙杜鲁库人的计量系统和对数数轴相匹配。在计算机化的测试中,他们向来自这个部落群体的33个蒙杜鲁库成年人和儿童展示了类似于通常用于小学教学的数轴线条。但是没有任何实际的数字标记。这条数轴在一端有1个圈,在另一端则有10个。受试者被要求把这10个圈在数轴上排序分组。

西方的成年人和儿童通常会均匀地排列(也就是算术分布)数字,而蒙杜鲁库人则倾向于当数字越大时,它们之间的间隔越小,这与对数尺度上的抽象数字基本一致。Dehaene和他的同事们认为,让孩子们学习算术上的数字间距,他们需要克服对数量天生的对数直觉。

小数字之间的差异比大数字之间的差异权重更重,这在现实世界中很有意义,也符合Fias所说的根据差距比例进行判断。两个人或者三个人组成的家庭的差异,和200人或者300人的部落间差异意义相当,而152人和153人的部落之间差异则微不足道。

这种推理方式很容易被解读为“原始的”,但长期以来,人类学消除了这种傲慢的偏见。毕竟,一些缺乏数字描述词汇的文化,可能在其他方面比我们有更加细微的语言区分,比如说气味或者家族等级。你所形成的词汇和观念,是为你所在的社会真正关注的问题所服务的。从实践的角度来看,人们可以认为这在某种意义上其实是同质化的工业文明群体,看起来有点奇怪,它们的差异在严格意义上是1,000,002和1,000,003的区别。

然而,蒙杜鲁库人是否真的拥有类似对数的数学空间,依然存在疑问。Núñez对Dehaene认为所有人都有数轴这一抽象概念的说法持怀疑态度。他说,蒙杜鲁库人(尤其是没有接受过教育的成年人,他们是研究文化最为关键的人群)将小数量排列在数轴的现象实在是太过于多样化了,这无法支持他们关于是如何理解数字排列的结论。一些受试者甚至不能按照1、2、3的顺序一致地排列数字。

Núñez说:“一些人倾向于把数字放在数轴的一端而不考虑它们之间的距离,无论是对数还是算术法则,这都违反了数轴的基本原理。”

基于人类学的线索,神经科学可以告诉我们关于区分数量起源的更多细节。大脑图像的研究揭示了在婴儿大脑中涉及这一任务的一个区域——比如说,区分三个点中的两个。这种能力似乎确实是天生的,而认为有生物基础的研究者们声称,当孩子们开始学习他们文化中的数字象征系统时,他们需要利用这些神经资源。尽管没有人可以在视觉上将在空间随机分布的153个点中区分出152个(这是说在不进行计数的情况下),论点的关键在于这样做所需要的基本认知能力和区分2和3相同。

但是,根据Ansari的说法,这个极具吸引力的故事并不符合最新的证据。“令人惊讶的是,当你深入了解大脑的活跃模式时,我们和其他人发现了很多证据表明,我们的大脑在处理非符号数字,例如一系列的点,和符号数字时有大量的不同之处。”他说,“它们之间似乎并无关联。这一发现挑战了大脑通过处理机制,将文化发明的数字符号映射到非符号数字系统的概念。我认为,这些系统之间的联系并不像我们想象的那么紧密。”

如果说有什么区别的话,那就是现有的证据似乎表明因果关系是反过来的:“当你开始学习符号的时候,你开始用不同的方式来区分这些点。”

Ansari认为,当你考虑到孩子们需要多么努力才能掌握数字而不是数量时,一切就很直观了。“我一直饱受困扰的一件事情是,一方面我们有证据显示婴儿可以区分数量,但另一方面,孩子们需要两三年的时间来学习数字词汇和数量之间的关系。”他说,“如果我们认为人类有一个很强大的生物基础,你只需要将其映射到符号系统之上,那为什么需要这么长的发展轨迹、这么多明确的指导以及实践,才能够将其掌握呢?”

但是,两种象征性思维方式之间的明显断层形成了一个谜团:如果我们只是对数量有一个粗略的认知机制,那我们是如何掌握数字的呢?这个复杂的问题,使得一些研究人员不接受Núñez认为数字的概念是一种文化产物的说法。“作为一个生物器官,大脑是被基因所定义的,被预设定了接受一个数字系统。”德国蒂宾根大学的神经生物学家Andreas Nieder说道,“文化只能在大脑的能力范围内塑造出我们的数字系统。如果没有这样的预设定,数字符号将永远超出我们的掌握范围。”

Ansari认为,也许我们所绘制的,并不是一个简单的从符号到数量的映射,而是感觉中数字间的关系——换而言之,是基本算术规则的概念,而不仅仅是按顺序排列的数字。“即使孩子们了解基本规则——数字符号到数量的映射——他们也不一定明白如果你再添加一样东西,你将得到下一个更大的数字。”Ansari说,“把数字从实质中抽象出来是非常复杂的,我们依然只能肤浅地了解这其中的工作原理。”

关于我们对数字的感觉从何起源的辩论本身,似乎也是抽象的,但它在实际中有切实的后果。最值得注意的是,认为生物学和文化起到相关作用的信念,会影响数学教学的态度。

认为数字感觉是生物本能的学者们,似乎在2008年于巴尔的摩的约翰·霍普金斯大学进行的一项研究中找到了支持证据,这项研究显示:14岁受试者们在视觉上准确辨别数量(例如一张图里的点的数量)的能力,和他们幼儿园时代的数学测试成绩相关。换句话说,如果你天生就善于利用视觉评估数字,那你将擅长数学。这些研究结果被用于开发提高数学能力的工具,比如Panamath。

不过,Fias认为这些这些支持数字和事物联系是天生能力这一观点的测试结果,也许并不像看起来的那么有说服力。忽略掉密度、面积和亮度等因素,仅仅认为图片上的点数和数量有关,这是不切合实际的。从上世纪六十年代由Jean Piaget带头进行的儿童发育研究中,研究人员就已经注意到年幼的孩子们并不能在排除视觉冲突特征之后独立地识别数量。比如说,在数目相同的情况下,他们会认为间隔更宽、所占空间更大的石子数量比间隔窄、所占空间小的石子数量多。此外,还有很多研究表明,相比于在视觉上区分物体数量多少的能力,算术能力与学习和理解数字符号(1、2、3……)才是密切相关的。

虽然很多教育工作者以及研究人员本身都非常渴望知道确定答案,但关于数字认知起源的争论,仍然没有一个统一意见。Nieder仍然相信“我们对符号化数字的理解能力,无论比其他动物非符号化的能力先进多少,都是我们与生俱来的。”他认为Núñez那个“数字本身是文化产物”的说法不具备科学性。另外,他相信数量表征的能力需要神经生物学基础,这也解释了为什么有些人会有计算障碍——大脑缺失了处理数字的能力。他说:“只有拥有神经生物学中对应的数字能力基础,我们才有希望为这些案例找到教育和药物上的治疗方案。”

但如果Núñez是正确的,即数字的概念是文化建立在一个粗略的数量印象之上的产物,那么这将提出一些有趣的、关于大脑中数学逻辑的新问题。我们是如何决定计数的?我们为什么要开始计数?这是在我们为数字命名的阶段产生的能力吗?“语言本身可能是数字的必要条件,但不够充分。”Núñez说,“所有已知的人类文化都有语言,但不是所有的文化都有对数字形式的确切量化方式。”

“揭示思维如何从量化转向数字化是非常难的。”挪威卑尔根大学的认知科学家Andrea Bender表示,“尤其是如果假设语言在这个过程中起到了关键作用,这就更难了,因为我们甚至不知道语言是什么时候出现的。所有发展心理学中的研究似乎都表明:人们需要处在文化的环境中才能理解数字概念。”一些考古学家将关于数值的思考追溯到几万年前前的旧石器时代,基于一些遗迹,比如有缺口的骨头,或者手指模具——“但是,在一定程度上这都是推测。”Bender这样评价道。

更复杂的事情是,当不同的文化发展出数字的概念后,关于如何更好地计算,他们提出了不同的解决方案。虽然很多西方的语言都是以10为基准计算的——也许是受了我们手指数量的启发——但他们的日历是以12为基数的,所以英语从13(thirteen,10+3)开始的数字才是复合词。中国人从一开始就更有逻辑地保持一致性,11的表示方法就是“10+1”,并且将这种逻辑结构延续到更大的数字上,21(两个10,一个1)也是如此。一些学者认为,这种相对来说更清晰的逻辑表达是中国人计算能力出众的原因之一。

也许我们可以采用不同的数字系统。以法属波利尼西亚的芒阿雷瓦群岛上的人们为例。Bender和她的同事们发现,岛上的居民采用的计算系统混合了我们所熟悉的十进制和另一种相当于二进制的系统。在数码时代到来之前,这似乎是一个奇特的选择,但数码时代使得二进制变得完全合乎逻辑。不过,Bender认为,最佳的运作方式取决于你的目的。

在芒阿雷瓦的社会中,诸如食物分配和供给这一类特定的运算,二进制使用起来更简便。至少在这个环境下,这是解决文化问题的一个好方法。“看样子,芒阿雷瓦岛民和相关的波利尼西亚文化是发明计算系统的绝佳例子,因为他们的系统对于手头上的任务更加有效率。”Bender说道。

她认为她的研究发现支持Núñez的观点:即哪怕人类具有生物学进化而来的数值认知的先天条件,“他们需要和发明的工具也是文化产物,也正因为如此,这些工具是多样化的。”

Núñez认为,他的一些同行们可能太过于热衷将一些文化的产物,如音乐,归功于生物和进化而来的某些能力。“很多动物有区分声音的能力,还可以发出各种频率和强度的声音,等等。”他说,“但这些并不足以说明是’音乐的基本条件’。美声唱法需要声带,但它们没有进化出美声唱法。”

也许,关于数字认知的激烈争论的根源,是希望能通过生物学的自然理论,正式赋予一些特征和能力以适当地位——不仅仅是数学,还有艺术和音乐——否则的话,它们的地位好像会受到某种影响而衰减。当然,像认知科学家Steven Pinker就会比较极端地认为音乐是因为其他原因而寄生于进化而来的能力——他称之为“听觉上的芝士蛋糕”。

也许,这样一种想法似乎正变得更加可贵,而不是被轻蔑:我们的大多数精神方面的能力都来自我们的文化——我们通过纯粹的精神力量超越了我们现在所具有的生物禀赋。也许我们应该给自己更多的肯定。

(翻译:陈宛琦)

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