文|李北辰

今天，我想斗胆和你聊聊数学。

这篇文章分三大段：第一段讲数学的本质，有点枯燥和抽象，但只有1000字，而且没有一个数学公式，值得你费些力气读完；读不完就跳到第二段，那里比较通俗和甜腻。

不过前两段都是铺垫，我诚挚地邀请你，去读第三段，那里有个飞蛾扑火的浪漫故事。

1

你应该知道，数学是纯抽象的产物，不依赖任何现实事物。

比如，现实世界里有真正的“直线”吗？

没有，“直线”只是个抽象概念，你身边没有一条绝对平直、没宽度、无限长的“直线”。同理，你身边也没有一个“完美”的圆或者直角三角形。

数学里有，数学是完全基于逻辑的客观存在，这让它有别于基于“逻辑+实验”的自然科学。

自然科学有一个朴素到极致，以至于很晚才被科学家发现的事实：科学里的任何定律，都依赖于人的参与，没有人的观测参与，这些定律根本不存在。

比如牛顿说引力是一种平方反比有心力，广义相对论说根本没有啥引力，大质量天体的作用是弯曲了周围时空，前者的适用范围不如后者，但牛顿和爱因斯坦都没有错，他们提供的，只是两种解释世界的模型，甚至可以说是两种“发明”。

数学不是这样，任何数学知识，都只是被数学家“发现”，而非被“发明”。

这是因为，数学自己就是自己的推动力。

我给你举个例子。

只要你“讲理”，一个苹果加一个苹果就永远等于两个苹果，两个苹果减一个苹果永远等于一个苹果，这就有了自然数的加减法。

有了减法，就自然会有“负数”概念；为了快速算加法，就有了乘法；有了乘法，就有了平方；有了平方，就会有人想到开方；当有古希腊好事者想对2开方，就有了引发第一次数学危机的无理数……

你发现了吗？这些推导都是数学自身驱动的。

整整一座壮美的数学大厦，以及大厦里无穷的数学结构——早就，已经，永恒，存在，在那里，等待着被人类发现，索取，利用。

无论人类存在与否，时间存在与否，空间存在与否，数学都永远存在。平面内距一个定点等长所有点的集合是圆，周长和直径比是 π，只要宇宙臣服于逻辑，这个事实就永恒不变。

但请注意，如果你是一个逻辑感很强的人，会发现在我刚才的论述里，屡次用到“只要你讲理”，“只要宇宙臣服于逻辑”等前提假设。

这是因为，即便是世间最理性的存在，数学也仍是一种“信仰”。

这是因为，人类已知的一切“证明”行为，都需要用到逻辑，但我们无法跳出逻辑，去“证明”逻辑自身的正确性。

比如奠定整个欧式几何大厦的，是包括“两点间只能有一条直线”等几条无需证明的公理，但数学家对待公理的态度更像一种信仰，他们既无法证明公理的正确性，也无法证明逻辑本身的可靠性。

因此，人类任何一个已知结论，严格来说，都应该遵循同一种语言结构：假设 XX 条件为真，且逻辑为真的前提下，XX 结论成立。

幸或不幸，在纯逻辑世界，我们尚未发现有什么在根本上自相矛盾的地方，我们暂且相信它。

目前为止，数学是每个理性人最该拥有的信仰。

2

前阵子，看到一篇名为《国际奥数冠军今何在》的文章。文章标题其实在默默假设：数学好的人应该获得世俗成功。

但真相是，从古至今，数学都是与现实利益最远的学问。

公元前300年，古希腊，有个年轻人问欧几里得：学几何有没有什么现实的好处？欧几里得听完，让仆人给了他三枚银币，把他打发走了。

理由是：这位可怜的年轻人，居然想从数学中获益。

但如你所知，中国数学教育的本质，是甄别智力的工具。这导致我们被数学摧残太深，没有机会从数学中萃取到最纯粹的智力愉悦。

我还记得，大学第二学期，我高数和线性代数接近满分，但我当时并未体会到任何数学之美，微积分那么沁人心脾的思想，我感受不到。

我这辈子最大的智识遗憾，就是没有能力挤进数学大厦，只能站在门外，赞叹。

那除了赞叹，普通人还有其他感受数学魅力的方法吗？

有的，那就是：想象数学的浪漫。

请注意，我这里说的浪漫，是这种吗？

是这种吗？

还是这种？

都不是。

这些所谓的“浪漫公式”，和浪漫没有一点关系，小孩子发这个是甜腻，成年人发这个是油腻，都是恋爱时在冒傻气。

我说的浪漫，是基于绝对理性的浪漫。

什么是绝对理性？

这又得回到数学的本质。

物理学家费曼说：数学的辉煌就在于，当我们谈论它的时候，不必再解释我们在谈论什么。

我理解费曼的意思是说，任何其他领域的创作者，都要“依托”点别的什么东西，去“放大”他的创造。

科普作家卓克就举过一个例子：“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”的核心思想，其实只不过是“那条瀑布比较大，水比较盛，令人感慨”，文盲站在瀑布底下也会有相似的想法，它能成为名句，是因为李白依托修辞等思想之外的东西，放大了他的创造。

数学不这样，数学家的创造，不依托任何思想之外的事物，只依赖于“纯思想”，完全不受任何情感因素左右。

但在我看来，当这种基于纯思想的“绝对理性”，被赋予某种抒情性；当一个人的“感性与诗意”，是建立在“理性与逻辑”的基础上，那么就会瞬间感受到数学的浪漫，残酷的浪漫。

3

你肯定听说过飞蛾扑火。

“爱到飞蛾扑火，是种堕落”，好在大自然里的飞蛾扑火，不是为了爱情，而仅仅是因为，它想在夜晚“走直线”。

夜间的蛾子，想要沿直线飞行，唯有借助月光，它只要确保自己的运动方向，跟光线一直保持稳定的夹角，就基本能沿直线飞行。

这是因为，月亮离飞蛾很远，在这种距离尺度下，月光撒向地面，每一缕月光跟每一缕月光都近乎平行，飞蛾只要与光线保持固定的夹角，就一定能近似飞出一条直线。

这是亿万年来大自然教给它们的飞行技巧。

然而不幸的是，大自然尚未有足够的时间告诉它们：只有在人类出现前，月光才是夜晚最耀眼的光芒，当人类在夜晚燃起火光，其发出的光芒远比月光更亮，飞蛾很自然地就把它当做夜晚的路标。

此时，一缕一缕的火光，就再也不是平行的了。

这种辐射状的光芒，让飞蛾感到慌张，但它仍然固执地遵循着曾让它永远向前的飞行技巧，保持跟每一缕光线相同的夹角，一直飞，一直飞，一圈，一圈地旋转。

最终，坠入火海编织的牢笼。

在数学上，飞蛾扑火的这种路线，叫做斐波那契螺旋线。

斐波那契螺旋线在地球中普遍存在，这是因为在我们的现实世界，不存在两条“绝对平行”的直线。

就拿飞蛾扑火来说，我们假设在夜晚，飞蛾的体能极限是 400 公里，相较于它与月亮之间的距离，在这个尺度下，月光仍然是近乎平行的。

但假设，世界上突然有一只变异的飞蛾，它就像飞蛾族群里的“变种人”，拥有无限的体能，可以飞行 40 万公里，且过程中能不受任何外力约束，那你知道，在理论上，它最终会去向哪里吗？

它会遵循斐波那契螺旋线，螺旋式地，坠落到月亮上。

而月亮，正是在每个地球的夜晚，一直为它默默“点灯”的光源。

如果它最终落在——并最终死在月亮上，或许，也会觉得自己是“骄傲的，伟大的”。

所以这个结局不算伤感。

那你知道，比“飞蛾与月亮”更伤感的是什么吗？

是数学。

在欧几里得“第五共设”的约束下，平面上任意两条直线，要么平行，要么只能相交一次。

这意味着，至少在平面几何里，两条平行线，哪怕再靠近，再想触碰对方，也永远不会相交——永远。 

但这还不是全部的残酷，在我心里，比两条平行线更伤感的，是两条直线。

在平面几何里，任意两条直线，仅仅相交一次，互相打了个照面，就渐行渐远，永远不会相见——永远。

这就好比两个刚认识的人，刚说完一句“Hi，晚上好，很高兴认识你”，然后就瞬间分道扬镳，连句“晚安”都还没来得及说，就匆匆而过。

从此，你走你的，我走我的，再无交集。

对我来说，这才是世界上最浪漫的残酷。

或者说，最残酷的浪漫。