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数的发明与发现之争:人的世界毁灭,数的世界仍在?

既然数学定理是逻辑推理的必然结果,与我们是否相信毫无关系,而且在其被写成公式并被证明之前就已是存在而且正确的,那么是否存在一个“形而上”的数字王国?

图片来源:视觉中国

按:或许你在人生最后一次数学考试结束之后就再也没仔细想过和数学有关的问题了,虽然每日仍不可避免与房租、电费、饭钱这些具体的数字和加减法打交道。数字连接着我们与过去——在历史上,当人群开始定居之后,数字在人类社会的早期被发明出来,因而成为人类最早文化成就的一部分;数字也连接着我们与未来,毕竟今天这个时代已经被定义为所谓“数字时代”。

既然如此,你是否想过这样一个问题:数真的是人类的创造吗?还是一种客观存在呢?我们对数学定律和性质的探寻,是否与物理学家对基本粒子性质的探索并没有两样?既然数学定理是逻辑推理的必然结果,与我们是否相信毫无关系,而且在其被写成公式并被证明之前就已是存在而且正确的,那么是否存在一个“形而上”的数字王国?即便人类生存的世界明天就要毁灭,这个不以人的意志为转移的数字王国是否将永恒存在?

这一关于数字本质的哲学之辩始终在进行着——一派认为数字是一种独立于精神的客观存在,一派认为认为数字因为人类的创造而产生,存在于人类的思想之内。从柏拉图到罗素和哈代,再到十年前欧美数学界对数学本质和“柏拉图主义”的激辩,关于数学的思考的推进实际上也是一次关于人类思维的再认识。

哲学家、逻辑学家和数学家曾经尝试给数学的大厦建立合适的基础,这导致了20世纪初的“数学基础危机”,三大派别——逻辑主义学派、形式主义学派以及直觉主义学派——试图在哲学领域为数学寻找基础和意义,但都遭遇了意料之外的种种困难。所以,数到底是发明还是发现,这个问题在今天依然对所有人开放。

当然,也有很多数学家认为,关于他们学科基础的思索是“浪费时间”,在应用于解决具体问题时,数学的成功幸运地不依赖于哲学立场。美国数学家巴里·马祖尔对于自己的研究工作有着这样美妙精彩、激动人心的描述:“当我工作的时候,我有时有一种感觉——也许是幻觉——我注目于结构或数学对象纯粹柏拉图主义的美丽;另外的有些时候,我是一个快乐的康德主义者,惊奇于直觉之构造亚里士多德所谓“对象的形式条件”的强大能力;而有的时候,我似乎跨坐于这两个阵营之间。我觉得,这种体验带来的张力,令人眩晕的想象,直觉的跳跃,‘看见’契合于某个概念王国的实体所导致的窒息感,以及我对所有这些怀有的激情,正是使得数学对我来说如此超级重要的原因。”

数学世界的宝藏无穷尽,或许真的可以一直挖掘到人类世界毁灭的那一天。到那时,数还在吗?

《数字与哲学》

(节选自《心中有数》)

文 | [美]阿尔弗雷德·S.波萨门蒂  译 | 吴朝阳

1、数,是发现还是发明?

数千年以来,许许多多的研究都牵涉到数,而数字本身也是人们研究的焦点。数学家们发展并细化了人类对数的认识,积累了关于数字及其应用的巨量知识,很多领域里产生了针对各种目的的运用数字的精致方法。除了自然数之外,数学家们引入了多种新的数字类型,例如负数、有理数、实数和复数。并且,他们自然也一直思考着数的本质问题,也就是“数到底是什么”,以及“为什么数字在宇宙中扮演着如此重要的角色”等问题。

数的概念反映了世界的一些基本性质,特别的一点,是将对象组织成可以相互区别的元素集合的可能性。进化给人类和其他物种带来了原始的数字感,使人类对小的数目有准确的感知,并对大的数目有近似的感受。对任意集合的计数需要这些方面的综合,因此需要只有智人才具备的智慧。而当人群开始定居之后,数字在人类社会的早期被发明出来,因而成为人类最早文化成就的一部分。因此,数字看起来似乎是人类的发明,是人类智力的工具,人类用它建立起对世界诸方面恰当而实用的、智慧的表达方式。简单化与信息减约的过程导致了数字概念的抽象化,这似乎更是一种智力结构,一种有助于经济地组织思维过程的人脑功能。

然而,对数字以及其他数学对象,数学家往往有他们自己的看法。当数学家们研究得非常深入的时候,他们觉得,数字和数学对象等实体不只是人类的创造,而是更为客观的存在。他们相信,数是被发现而不是被发明出来的。对其中定律和性质的探寻,与物理学家对基本粒子性质的探索并没有两样。唯一的区别似乎不过是:基本粒子存在于物质世界之中,而数字以非物质,然而也非心理的方式存在。但是,与基本粒子一样,数的存在似乎与人类的精神世界无关。物理学家们使用实验和测量设备,数学家则运用他们的直觉、逻辑思维和抽象推理,以发现未知领域中的美和真理。数学家们从事研究的世界,是一个充满数学对象和观念的抽象世界。当他们发现此前未知的关系、模式和结构时,人类就认识了一个新的数学知识领域,也等于是抵达了抽象世界里一片新的区域。数学家们感觉,这与过去发现地球上人类未曾涉足的区域是一样的。

图片来源:视觉中国

这种观点无法轻易否定。例如,我们“发现”了“前n个奇数之和等于n的平方”这个结果。根据从给定平方数构建下一个平方数的方式,我们发现这个结果以显豁的几何直觉看肯定是正确的。这种对事实的感觉被代数方法所进一步证实,而后者完全不需要借助于几何的形象化呈现,数学家们因而普遍同意,这个结果对所有自然数n都是成立的。一旦确认其为事实,人们就会感觉到它所表达的不仅仅是精神上的信服或社会的共识。确实,这个结果是逻辑推理的必然结论,与人类之相信与否或态度如何并没有关系。

这给予我们这样一种印象:这种结果表达的是客观真理,它们在被写成公式并被证明之前就已是存在而且正确的。因此,人们产生一种观点,认为“形而上的”数字“王国”是客观存在的,它与物理的宇宙之间毫不相关。换句话说,即便整个宇宙在明天消失,数字的世界仍然永恒地存在。

以上我们描述了对于数字两种对立的哲学观点:一种认为数字独立于精神,存在于外在的、形而上的世界;另一种则认为数字因为人类的创造而产生,就像对对象集合的分类和排序那样,是人类用来应对各种事务的设计,存在于人类思想之内。

《心中有数:数字的故事及其中的宝藏》
[美]阿尔弗雷德·S.波萨门蒂 [奥]伯恩德·塔勒 著  吴朝阳 译
世界知识出版社  2019-08

2、柏拉图的观点

数字、三角形、方程等数学对象独立存在于“数学的王国”,在物理客体世界之外,同时也在人类的思维之外。这种哲学观点被称为“柏拉图主义”,因古希腊哲学家柏拉图(前428/427—前348/347)而得名。在他的“理型论”中,柏拉图声称思想观念比物质客体具有更为本质的真实性。思想观念,或者“理型”,是非物质的和抽象的,存在于形而上的观念世界。通过我们的感觉所理解的物质客体,只不过是其理型的投影或实例,理型才是真正的本质。人类就像是穴居人,背靠着洞穴的门口,只能观察到外部现实世界在其眼前墙面上的投影。因此,真实的内涵只能通过对理念的研究才能够得到。人类的感觉无法直接认识到理型,但通过推理则可以。

直到20世纪以前,这确实是人们关于数字本质的共识。数学家们认为数字是抽象思维的非物质“王国”中的“真实”对象,独立于人类而存在。现代数学家通常不会那么极端地宣称物质世界是不真实的,但很多仍然支持柏拉图数学对象真实性的观点。例如,法国数学家夏尔·埃尔米特(1822—1901)说:“我相信数字和解析方程不是我们思想的随意性结果,我认为它们存在于我们之外,具有与客观真实事物同样的必然性。我们遇到它们、发现它们、研究它们,这与物理学家、化学家以及动物学家并没有两样。”

还有一次,埃尔米特写道:“如果我没有搞错,那么存在着一整个世界,它由所有的数学真理构成,但我们只能通过思想来接触到它们。就如物理世界是真实存在的,两者相似,都独立于我们之外,都由道而生。”

著名英国数学家哈代(1877—1947)写过一本名为《一个数学家的道歉》的书,他在书中夫子自道:“我相信数学真实存在于我们之外,我们的功能是发现和观察它。我们大言不惭地把我们证明的定理称为我们的‘创造’,其实那只不过是我们对观察思考的记录。”

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3、进行中的讨论

在2007年,英国数学家布赖恩·戴维斯(1944—)发表了一篇名为《终结柏拉图主义》的文章,再次引发了关于数学本质的讨论。戴维斯指出,抽象数学世界独立存在的信念暗中对人脑功能制定了假设。柏拉图主义者似乎认为,人类大脑能够产生与柏拉图王国的联系,因而超越空间和时间的限制,延伸入抽象的宇宙。对戴维斯来说,这种观点“相比之下更接近于神秘宗教,而不是符合于现代科学”。他指出,对人脑产生数学的机理之科学研究显示,数学的思想过程具有纯粹的生理基础,而这些研究“与柏拉图主义毫无关系。柏拉图主义的主要功能是给相信者以安全的感觉,另一功能则是为数以百计的哲学家提供工作机会,使他们徒劳地尝试调和它与我们对世界的所有认知。现在我们应该认识到,数学与人类所有其他同样重要的智力技能并无类型上的不同,从而抛弃柏拉图主义这一古代宗教的最后残余”。

到2008年,美国数学家鲁本·赫尔斯(1927—)和巴里·马祖尔(1937—)发表了两篇回应文章,进一步推动了这个讨论。在他们看来,数学是人类的、依赖于文化的追求,但这一事实与数学对象的真实性问题无关。因此,即便进化为人类提供了对数字的原始理解,甚至数字在我们脑海里的映像确实依赖于社会学的因素,数字依然可以具有独立存在性。马祖尔博士给出了以下的例子:如果我们对数字不感兴趣,但在“写作关于大峡谷的描述时,如果一个纳瓦霍人、一个爱尔兰人和一个祅教徒被安排各自写下他们的描述,那么,这些描述肯定深受他们各自文化背景的影响,甚至还依赖于这三个人的情绪、教育以及语言”。但是,这并不会“损害我们对大峡谷存在性的坚定信念”。

根据鲁本·赫尔斯的观点,柏拉图主义“表达了关于数学的正确认识,数学事实与数学实体是存在的,它们不服从于数学家个人的意志和奇想,却将客观事实与实体强加到数学家的脑子里”。但是,依他的看法,“柏拉图主义的谬误之处在于它对这种客观真实的错误解释,将它放置于人类文化与知觉之外。正如其他许多文化真实,从任何个体的观察角度看,它们是外在的和客观的;但从社会或文化的整体角度看,又是内在的、历史的、受到社会制约的”。

4、数学的哲学

20世纪初,哲学家、逻辑学家和数学家曾经尝试给数学的大厦建立合适的基础,这导致了所谓的“数学基础危机”。由此,涌现出若干学术团体,相互激烈攻讦,相互间对正确途径的观点差异极大。在20世纪的上半叶,最有影响的三个派别被称为逻辑主义学派、形式主义学派以及直觉主义学派。由于数字是数学的基本要素,不同的哲学派别关于数字的观念也各执己见。

例如,逻辑主义学派最著名的成员是德国数学家戈特洛布·弗雷格(1848—1925))和英国数学家伯特兰·罗素(1872—1970),他们试图将所有数学都建立在逻辑的基础之上。特别地,他们相信,应该以集合论的基本实体来确定数字,而算术则应该由第一逻辑原理推导而来。这是一个重要的目标,因为所有传统的纯数学,事实上都可以从自然数的性质以及纯粹的逻辑命题推导出来。这种思想早在德国数学家里查德·戴德金(1831—1916)的著作中就已出现,他在1889年写道,“我觉得,数的概念完全独立于关于时间和空间的直觉和观念……我宁愿认为它是纯粹的思想法则的直接产物。”罗素在1903年写道:逻辑主义的目标是“证明所有纯数学仅仅处理由极少数基本逻辑概念定义的概念,它的所有命题都可以由极少数的基本逻辑原理导出”。逻辑主义的计划是将数字观念还原为基于纯逻辑的基本概念,以“建立整个序数理论,将其作为逻辑学的特殊分支”。以这种方式,罗素希望能够赋予数字概念以明确的意义。

图片来源:视觉中国

另一方面,形式主义学派并不试图给数学对象赋予任何意义。这个学派最主要的提倡者是德国数学家大卫·希尔伯特(1862—1943),在这个学派的解决途径中,被直接认定为正确的命题称为“公理”,其目标是使用少数公理来定义数学理论,从这些公理出发,由逻辑推理规则推导出数学定理。形式主义学派对数字的本质,或数字是否有意义的问题毫无兴趣;他们只是关心数字的形式化性质,即支配它们关系的规则,任何遵循这些规则的对象之集合都可以被当作数来看待。最能表达形式主义学派观点的是归于希尔伯特名下的一段著名言论:“数学是一种符号游戏,其游戏规则简单,而符号毫无意义。”

直觉主义学派发端于布劳威尔(1881—1966),这个学派是非柏拉图主义的,因为其哲学以“数学是人类大脑的创造”这一观念为基础。由于数学陈述是思维建构,陈述的正确性归根到底是由数学家的直觉所认定的主观断言,数学的形式化只不过是人们交流的工具。“排中律”是传统逻辑的一条基本规律,它规定:一个命题要么是正确的,要么是不正确的。直觉主义否认排中律的正确性,因而大大地偏离了经典数学和其他哲学流派。对于什么样的证明可以被接受的问题,直觉主义显得尤其特别。对直觉主义者而言,一个数学对象,比如一个方程的解,只有在可以被明确地构造出来时,其存在性才会被认可。这是与经典数学相抵触的,在经典数学中,如果数学对象不存在的假设可以推导出矛盾,则该对象的存在性就得到证明。换句话说,经典数学可以用反证法来作存在性证明,而直觉主义则要求使用明确的构造性证明。然而,最主要的区别更在于直觉主义者对待“无穷”的态度。对于直觉主义学派,关于有限数的算术通常仍然是正确的,在这方面它与经典数学有很多共同之处。

逻辑主义、形式主义以及直觉主义,都对数学的基础做出了有益的贡献,但它们也都遭遇意料之外的技术性困难,这些困难最终使得它们全都无法完全达到其预设的目标。

5、大结局

哲学问题通常都找不到普遍赞同的答案,同样,数到底是发现的还是发明的这个问题,也没有明确多数的数学家赞同某一种回答,对这个问题将来有可能一直都会存在多种观点和解答方式。

但对多数数学家来说,上述问题对他们具体的数学实践并没有什么影响,有些数学家甚至对哲学是否有用都持怀疑的态度。斯蒂芬·温伯格(1933—)是一位获得过诺贝尔物理学奖的美国物理学家,在其1994年出版的《终极理论之梦》一书中,有一章的标题是“反对哲学”。他写道,“关于工作方式或工作目标”,我们不应该指望哲学“对今天的科学家提供任何有用的指导”。确实,任何严格的哲学立场都有可能妨碍自由的与不存偏见的思考,并因而阻碍人类的进步。例如,如果我们恪守终极有限主义的立场,那么我们就自己放弃了绝大部分的数学,其中包括许多具有极为重要的现实应用的数学分支。

《心中有数》英文版封面

因此,很多数学家认为,关于他们学科基础的思索是“浪费时间”。2013年,在题为《数学需要哲学吗?》的论文注释中,英国哲学家托马斯·福斯特(1948—)写道:“很不幸,数学哲学所传达的大多数东西并不来自数学的实践,事实上我甚至相信,哲学系中所有数学哲学的活动几乎全部都是时间的浪费,至少从工作着的数学家的角度看来就是如此。”

在应用于解决具体问题时,数学的成功幸运地不依赖于哲学立场。即便两个数学家在数学基础方面有不一致的看法,他们通常对具体计算的结果都不会有不同意见。无论我们是否相信数字是独立的存在,像“5+3=8”这样的陈述在多数情形下都是正确而有用的,关键在于存在一个允许我们解决具体问题的数学框架。一种相当普遍的立场是:只要数学模型的应用是成功的,就没有必要思考其哲学解释。这种立场称为“只做不说”立场。这种表达源自美国物理学家大卫·莫明(1935—),当量子力学的解释出现哲学问题时,他用这个词组来描述物理学家们对该问题的共同态度。

据鲁本·赫尔斯所说,多数数学家似乎在柏拉图主义与形式主义的观点之间摇摆不定。这两种立场非常不相容,因而我们可以发现,哲学并不是典型数学家的主要关注点。另一方面,正如巴里·马祖尔所说,短短几个语句,势必无法“完全而诚实地表达数学对事物鲜活的描绘”。关于其哲学立场以及研究数学的动机之间的复杂感受,马祖尔有过如下的叙述:

当我工作的时候,我有时有一种感觉——也许是幻觉——我注目于结构或数学对象纯粹柏拉图主义的美丽;另外的有些时候,我是一个快乐的康德主义者,惊奇于直觉之构造亚里士多德所谓“对象的形式条件”的强大能力;而有的时候,我似乎跨坐于这两个阵营之间。我觉得,这种体验带来的张力,令人眩晕的想象,直觉的跳跃,“看见”契合于某个概念王国的实体所导致的窒息感,以及我对所有这些怀有的激情,正是使得数学对我来说如此超级重要的原因。当然,这个王国可能只是幻觉,但是体验呢?

书摘部分节选自《心中有数》一书第11章,较原文有删节,经出版社授权发布。

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